Jump to content

Search the Community

Showing results for tags 'time integration'.



More search options

  • Search By Tags

    Type tags separated by commas.
  • Search By Author

Content Type


Forums

  • Altair Support Forum
    • Welcome to Altair Support Forum
    • Installation and Licensing
    • Modeling & Visualisation
    • Solvers & Optimization
    • Multi Body Simulation
    • Conceptual design and Industrial design
    • Model-Based Development
    • Manufacturing Simulation
    • CAE Process Automation
  • Academic Partner Alliance Forum
    • APA - Composites
    • APA - CFD & Thermal
    • APA - Vehicle Dynamics
    • APA - Manufacturing
    • APA - Crash and Safety
    • APA - Noise, Vibration and Harshness
    • APA - System Level Design
    • APA - Structural and Fatigue
    • APA - Marine
    • APA - Optical Design
  • Japanユーザーフォーラム
    • ユーザーフォーラムへようこそ
    • Altair製品の意外な活用例
    • インストールとライセンス
    • モデリング(プリプロセッシング)
    • シミュレーション技術(ソルバー)
    • データ可視化(ポストプロセッシング)
    • モデルベース開発
    • コンセプト設計と工業デザイン
    • 製造シミュレーション
    • CAE プロセスの自動化
    • 学生向け無償版
    • エンタープライズソリューション

Categories

There are no results to display.


Find results in...

Find results that contain...


Date Created

  • Start

    End


Last Updated

  • Start

    End


Filter by number of...

Joined

  • Start

    End


Group


AIM


MSN


Website URL


ICQ


Yahoo


Jabber


Skype


Interests


Organization

Found 6 results

  1. 陽解法では、これ以上Δtを大きく出来ない、という安定条件が存在し、これがCourantの安定条件と呼ばれる以下の式:  ここにlcは要素の代表長さ、cは弾性波速度、、E:ヤング率、ρ:密度 で近似できる事は、時間積分の安定性について(1)、(2)で示した通りです。安定限界は、要素の安定限界は節点の質量と剛性でも与える事が可能で、この場合、 、ここに、m:節点質量、k:節点剛性 となります。安定限界はモデル全体での最小の時間ステップΔtで決まり、モデル中に少しだけでも小さな時間ステップの部分があると、そのために計算時間が大きく伸びてしまいます。もし、その時間ステップを決めている節点に多少の質量を追加する事が出来れば、その分安定限界を大きく出来ますので、計算時間の節約になります。これがマススケーリングと呼ばれるものです。 マススケーリングはEngineファイル(0001.rad)の中で /DT/NODA/CST ΔTsca ΔTmin というカードで指定できます。ここに、ΔTscaは安定限界に対する時間ステップのスケールファクターで、デフォルトは0.9です。これは安定限界の0.9の時間ステップで計算する事を示しています。係数を小さくするほど計算自体は余裕代が増えますので計算は安定しやすくなりますが、計算時間は増えます。一般に非線形性の高い問題を扱う場合には0.67位まで小さくした方が安全です。ΔTminがマススケーリングで目標とする最小時間ステップです。大きくすれば計算時間は減りますが、その分、節点に追加される質量も増えることになり、解くべき問題を変えてしまう事になります。どの程度質量が増加したかは、Engineの出力ファイル(0001.out)のMASS ERR.に出力されます。一般には2%( MASS ERR.が0.02)位までであれば、結果に対してそれ程影響を与えないと言われています。モデルにも依存しますが、この程度までの質量増加でも時間ステップを数倍大きくする事が可能になる事がしばしばです。ΔTminの大きさに関しては、Engineを少しだけ実行するなどして、MASS ERR.の値を確認し、決めます。 モデルの要素や節点の最小時間ステップは、Starterの出力ファイル(0000.out)にも出力されますので、これを確認してメッシュの修正が可能であれば予め修正して時間ステップが大きくなるようにすべき事は当然ですが、複雑なモデルですべての修正は困難な事が多いため、こうしたマススケーリングが実際には多く併用されます。
  2. ここでは、陰解法での時間積分公式としてよく用いられるNewmark-β法について見てみましょう。陰解法では、陽解法コードの様に安定限界が問題になることはありませんが、これは時間積分公式にΔtの大きさにかかわらず安定となる無条件安定の積分公式が用いられているためです。無条件安定の公式では、中央差分等を用いた場合と比べ、1ステップ当たりの計算時間もメモリーもずっと大きくなりますが、条件安定という制約条件が外れるために、ずっと大きなΔtで解くことが可能になります。 対象とする運動方程式は、簡単のため、中央差分での検討と同様に、   Newmark-β法(γ=1/2 、β=1/4)の変位、速度、加速度の関係式は:    これに、運動方程式を代入すると以下の式が得られます。   これをまとめて、   ここで、   の関係を考慮し、整理すると、       この固有値問題を考えると、   2次方程式の解と係数の関係より、であり、もし解が2実根を持つのであれば、1根は常に1より大きい事になりますが、解の公式より得られる根は:    より、である事から、解は常に虚根か重根になる事が解ります。結局:   2根の絶対値は: と、の大きさに関わらず1で一定で、無条件安定となります。
  3. 時間積分公式として、中央差分法を用いた場合の安定限界に関して、もう少し詳しく見てみましょう。運動方程式:   に対して、中央差分:     を代入します。運動方程式は簡単のため減衰と外力を無視すると、   となるので、これに中央差分式:     、 を代入すると、   整理して、       より、以下の漸化式が得られます。   ここに、積分作用素行列は、   で、この固有値問題:   より根が次のように得られます。   安定条件:    より、を考慮すれば、結局、   と、Courantの安定条件が得られます。
  4. 衝撃問題等を陽解法コードで解く際、これ以上Δtを大きくすると解が発散するという限界、いわゆる安定限界がある事が知られています。 これは、Courantの安定条件と呼ばれ、次式で表されます。   ここに、は要素の代表長さ、cは物質の弾性波速度で、、E:ヤング率、ρ:密度です。これが全ての要素に対して成り立つ必要がありますので、もし、物体の材料が均一ならば、1時間ステップΔtで弾性波が進む距離が最小の要素の長さよりも小さくなるようにする必要がある、というのがこの式の示す所となります。 ところで、数式の解が発散するかどうか、というのは物理の問題ではなく、あくまでも数学の問題です。言ってみれば、Courantの安定条件は、数学的な安定条件の物理的な解釈からなる近似式と言う事ができます。 それでは、数学的な見地から見た場合、この安定条件は、どのように導かれるのかを以下に見ていきたいと思います。 衝撃の問題であれ、振動の問題であれ、その支配方程式は、運動方程式で表す事ができます。    n自由度の運動方程式は、振動のモード解析で知られているように、   といった、n個のモード座標系での運動方程式の解の重ね合わせで表現できます。このどれか一つでも発散すれば、解は発散することになりますが、その中で一番条件的に厳しいのは、その最大固有振動数の場合ですので、このケースで解が発散しない事を示せれば、安定限界が求められる事になります。 一般に運動方程式を時間方向に解いていく際、その式は、外力等の既知の項を無視すれば、   という様な漸化式で表されます、mステップ先まで計算すれば、結局、    といった計算を行っている事に相当します。この係数行列Aが積分作用素行列と呼ばれます。この行列の固有モードマトリックスをP、その固有値をλと置くと、Aが2×2の行列であれば、 の関係が成り立ちますので、結局、   が得られ、mがいくら大きくなっても解が発散しないためには、作用素行列の固有値の絶対値が1を超えない事が必要である事が解ります。即ち、   です(ρはスペクトル半径と呼ばれます)。積分作用素行列Aの具体的な形は、用いた時間積分公式によって決まります。陽解法コードでは中央差分法が用いられますので、それによって安定限界が決まり、更にその近似としてCourantの安定条件が得られていた事になります。  
  5. 動的応答では、低次の大域的な応答が重要であることが多く、高周波の振動はむしろノイズとして、減衰してくれた方が望ましい事が多くあります。このような目的から、高周波域で減衰特性を持ち、かつその程度をパラメータでコントロール可能な手法として提案されたのがHilber-Hughes-Taylor法です。この方法はNewmark法の拡張として定式化されていますが、減衰特性のコントロールのために新たなパラメータαが導入されていることから、HHT-α法(あるいは単にα法)とも呼ばれます。 Newmark法では、速度、変位が以下のような式で定義されます。   (1)   (2) モード座標系の運動方程式は、   (3) ですが、ここでパラメータαを導入し、以下のように表します。   (4) 簡単のため、外力と減衰を無視すれば、     (5) 式(5)を式(2)に代入して、を消去すれば、は時刻nだけの値を用いて表せます。同様にして、、についても求め、まとめると、以下の漸化式を得る事ができます。      (6a) ここに、        (6b) (6c)  、 安定条件を満たすためには、式(6)の係数行列Aの固有値の最大値が1以下となる事ですが、固有値問題より、 (7a) が得られます。ここに、 (7b) です。Newmark法では、が良く用いられ、この場合前節でも示した通り、無条件安定となりますが、そのスペクトル半径ρはΔtにかかわらず常に1となり、数値的な減衰は生じません。これ以外の値では、で数値的な減衰が生ずることが知られており、その際、で無条件安定となります。そこで、と置けば、でとなります。さらにこのγを前述の関係に代入し、と置けば、パラメータはα一つだけの積分公式とする事ができます。これを式(7b)に代入すると、係数はそれぞれ、 (8) となります。式(8)を式(7a)に代入することで次式が得られます。   (9) Δtが大きくなった場合の安定条件として、の極限を考えると、式(9)は以下の様になります。   (10) ここで、とすれば、。Newmark法(、)と一致しますが、そのスペクトル半径は1となります。αを変化させた場合、で無条件安定となりますが、においては、負のαの絶対値が大きくなるほどρは小さくなる(つまり減衰が大きくなる)ため、この範囲でαの値が選択されます。Radioss陰解法(およびOptistruct)でHHT-α法を用いた場合のデフォルトは 、つまり小さな減衰ですが、αの値を変えることでより大きな数値減衰を与える事もできます。
  6. マススケーリングは、時間ステップが小さくなっている節点に質量を付加して最小の時間ステップを大きくする手法ですが、質量が増えれば、当然のことながら、その部分の運動エネルギーが増加し、慣性力も大きくなってしまいます。 このマススケーリングの改良版でアドバンストマススケーリングと呼ばれる手法があります。これは、要素の質量行列において、  ここに、 とその対角項にΔmdを付加するだけでなく、非対角項でΔmndを引き算し、全体として、差し引き0とする事で、慣性力の増加をキャンセルしようとするものです。 アドバンストマススケーリングの適用にはEngineファイル(0001.rad)の中で /DT/AMS ΔTsca ΔTmin と指定すると共に、Starterファイル(0000.rad)においても、 /AMS と/AMSカードと空行1行を指定します。これでモデル全体にアドバンストマススケーリングが適用されます。ΔTscaとΔTminの意味合いについては、通常のマススケーリングと同じです。 アドバンストマススケーリングはすべての問題に対して有効、というわけではありませんが、特にスタンピング解析や、準静的解析では、通常のマススケーリングに比べて10倍以上時間ステップを大きくしても問題ない事が多いようです。但し、アドバンストマススケーリングでは非対角項を持つ質量行列を扱う関係上、1ステップの計算時間が3倍程度に増えますので、それ以上時間ステップを大きくすることが可能な場合には、有効な手段となります。 アドバンストマススケーリングの使い方の詳細については、Radiossユーザーズガイドのアドバンストマススケーリング(AMS)ガイドラインをご覧下さい。Radioss日本語ユーザーズガイドは、Altair Connect: https://connect.altair.com/CP/downloads.html?suite=HyperWorks よりダウンロードできます。 また、理論の詳細については下記、参考文献をご参照下さい。 文献:Lars Olovsson, Kjell Simonsson and Mattias Unosson: Selective mass scaling for explicit finite element analyses, Int. J. Numer. Meth. Engng., 2005, 63, 1436-1445.
×
×
  • Create New...