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Altair_Ichikawa

時間積分の安定性について (4)Hilber-Hughes-Taylor法

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動的応答では、低次の大域的な応答が重要であることが多く、高周波の振動はむしろノイズとして、減衰してくれた方が望ましい事が多くあります。このような目的から、高周波域で減衰特性を持ち、かつその程度をパラメータでコントロール可能な手法として提案されたのがHilber-Hughes-Taylor法です。この方法はNewmark法の拡張として定式化されていますが、減衰特性のコントロールのために新たなパラメータαが導入されていることから、HHT-α法(あるいは単にα法)とも呼ばれます。

Newmark法では、速度、変位が以下のような式で定義されます。

 eq4-1.jpg.998d1f38eedcd0970058e9d46e5c9d44.jpg                                                                      (1)

 eq4-2.jpg.9808a307e5faea50c444fbb2c9bc9dac.jpg                                                 (2)

モード座標系の運動方程式は、

  eq4-3.jpg.6879597ff75364167f6d7fc949be565b.jpg                                                                                           (3)

ですが、ここでパラメータαを導入し、以下のように表します。

  eq4-4.jpg.a796fb774b99f6a981cc694330999620.jpg                                       (4)

簡単のため、外力と減衰を無視すれば、

 eq4-5.jpg.8feea083c12625896202ba0483368dc8.jpg                                                                   (5)

(5)を式(2)に代入して、消去すれば、eq4-7.jpg.b20a344b6f8bf50e644d578f7e50e9eb.jpg時刻nだけの値を用いて表せます。同様にして、eq4-8.jpg.3f3a1d4d0d778112ae752110a6a93893.jpgeq4-6.jpg.b7fe7b904a82fbd7005a7f2956165e00.jpgについても求め、まとめると、以下の漸化式を得る事ができます。

   eq4-9.jpg.75fefdda9b58de689dc3a2a3930c1d06.jpg                                                                                                     (6a)

ここに、

 eq4-10.jpg.50c05debb2b204ad7143338927446262.jpg                                                                                                   (6b)

   eq4-11.jpg.3baf02ef715dfdda76300d0894871847.jpg                   (6c)

 eq4-12.jpg.45001f5f691ecefeea4544c3ffc6c817.jpgeq4-13.jpg.3570996820256d31ef8603da75336245.jpg

安定条件を満たすためには、式(6)の係数行列Aの固有値の最大値が1以下となる事ですが、固有値問題より、

   eq4-14.jpg.dffd8631ae72600c112c17e6c8ac5884.jpg                                                     (7a)

が得られます。ここに、

    eq4-15.jpg.a2aa813fe3c820ac8bb7ea5e06ff3582.jpg                                                           (7b)

です。Newmark法ではeq4-16-1.jpg.ee268bb5bdac1a36b2fdf69c8dd26214.jpgeq4-16-2.jpg.2f93a23c4de44b8d9e066c72b92e4ba6.jpgが良く用いられ、この場合前節でも示した通り、無条件安定となりますが、そのスペクトル半径ρはΔtにかかわらず常に1となり、数値的な減衰は生じません。これ以外の値では、eq4-16-3.jpg.7a42335a67ef034d080af2c9baebe426.jpg数値的な減衰が生ずることが知られており、その際、eq4-16-4.jpg.e88f23005738c160d7bacf61d63668d4.jpgで無条件安定となります。そこで、eq4-16-5.jpg.e0abae76e8f057c53a542ec344fadc26.jpgと置けば、eq4-16-7.jpg.09c98fcd318e5aa1a4ce3a45ea517e90.jpgeq4-16-3.jpg.7a42335a67ef034d080af2c9baebe426.jpgとなります。さらにこのγを前述の関係に代入し、eq4-16-6.jpg.cbab1535515db2c36d936ca758771cb9.jpgと置けば、パラメータはα一つだけの積分公式とする事ができます。これを式(7b)に代入すると、係数はそれぞれ、

   eq4-17.jpg.4a78de2686a66f7c6a21a6aa8b852f92.jpg                                                                                        (8)

となります。式(8)を式(7a)に代入することで次式が得られます。

 eq4-18.jpg.74ca7fb746c3e473a56b602092ad7f91.jpg                                                                              (9)

Δtが大きくなった場合の安定条件として、eq4-19.jpg.d6bf357f92621d5bce02a0b0f20917a2.jpg極限を考えると、式(9)は以下の様になります。

 eq4-20.jpg.b4d94a95cc3ff0ba1fad57cb77aced64.jpg                                          (10)

ここで、eq4-21-1.jpg.0b20cd80e47503d4c5e1860c9157e646.jpgすれば、。Newmark(eq4-16-1.jpg.ee268bb5bdac1a36b2fdf69c8dd26214.jpgeq4-16-2.jpg.2f93a23c4de44b8d9e066c72b92e4ba6.jpg)と一致しますが、そのスペクトル半径eq4-21-2.jpg.98b8d6aec41e1c44384ad3308ac60226.jpg1となります。αを変化させた場合、eq4-21-3.jpg.e8a268721a9e68c613abca6d5c03c97c.jpgで無条件安定となりますが、eq4-21-4.jpg.c3ecae61c9256bdd80a29dc042536b9d.jpgおいては、負のαの絶対値が大きくなるほどρは小さくなる(つまり減衰が大きくなる)ため、この範囲でαの値が選択されます。Radioss陰解法(およびOptistruct)HHT-α法を用いた場合のデフォルトは eq4-21-5.jpg.7e40662ec0857016831c1eb8e24a9e33.jpgまり小さな減衰ですが、αの値を変えることでより大きな数値減衰を与える事もできます。

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