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Altair_Ichikawa

要素の計算(2)Gaussの数値積分

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1から1の範囲である関数の積分値を求めるものとして、もし、その関数が1次式であるならば、台形公式を用いるものとすればその積分値はf(1)+f(1)で得られます(下図参照)

fig6-2.jpg.aae2e2c90848c18e16440bf95dd0831a.jpg

ただ、もしf(0)の値を用いるものとすれば積分値は2f(0)として、1つの点の値だけでその積分を評価できます。Gaussの数値積分は、このように特定の座標(この場合はξ=0)での関数値f(0)と重み(この場合は2)の積で数値的に積分の解を表します。

では関数の次数が更に上がった場合にはどうなるでしょうか。例えば下図の様な3次関数を考えると、線と線で囲まれたおのおのの面積を比較すると、3次関数の曲線とξ軸との間の面積、即ち、定積分の値は斜めの直線が作る面積と同じになります。更に、その面積は幅が1で高さがそれぞれeq6-3.jpg.a181320543069354d9a416d221626613.jpgeq6-4.jpg.be38484616dcb9e42e755eba6afa291b.jpgの長方形の面積の和になります。図の例に限らず一般論として、2(eq6-5.jpg.9334064985cec73f1126adda54d77c5c.jpgeq6-6.jpg.9648a9ae02027562f8698bb0ec184ef1.jpg)の関数値と重み(それぞれ1)3次関数の積分値が正確に与えられます。

fig6-3.jpg.cd173a5b587c8ab764a1c0f6ada6a836.jpg

Gaussの数値積分では、一般にはn点の積分点での値で、2n1次の関数の積分を正確に与える事が出来ます。

 

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